# Контрольная работа №1. Интегрирование сложных функций

Варианты 2 и 3.

## Типы задач

1. **Метод Остроградского** — выделение рациональной части у дроби с кратными корнями в знаменателе, без разложения на простейшие.
2. **Дифференциальный бином** — три случая Чебышёва; в обоих вариантах `p in ZZ`, то есть первый случай.
3. **Кусочно-заданная функция** — интеграл разбивается на два по точке стыка.
4. **Несобственный интеграл** — предел при бесконечном пределе интегрирования, нужен вывод о сходимости.

---

# Вариант 2

## №1. Метод Остроградского

```math
int (3x-1)/(x+2)^3 dx = (Ax+B)/(x+2)^2 + int C/(x+2) dx
```

Дифференцируем обе части:

```math
(3x-1)/(x+2)^3 = (A(x+2) - 2(Ax+B))/((x+2)^3) + C/(x+2)
```

Приводим к общему знаменателю и раскрываем числитель:

```math
3x - 1 = Cx^2 + (-A+4C)x + (2A - 2B + 4C)
```

```math
{(C = 0),(-A + 4C = 3),(2A - 2B + 4C = -1):}
```

```math
A = -3, quad B = -5/2, quad C = 0
```

### Ответ

```math
int (3x-1)/(x+2)^3 dx = (-3x - 5/2)/((x+2)^2) + C = -(6x+5)/(2(x+2)^2) + C
```

## №2. Дифференциальный бином

```math
int x^5 (3-x^3)^2 dx
```

```math
m = 5, quad n = 3, quad p = 2 in ZZ
```

Первый случай Чебышёва — раскрываем скобку:

```math
int x^5 (9 - 6x^3 + x^6) dx = int (9x^5 - 6x^8 + x^11) dx
```

### Ответ

```math
= (3x^6)/2 - (2x^9)/3 + x^12/12 + C
```

## №3. Кусочно-заданная функция

```math
int_0^4 f(x) dx, quad f(x) = {(x^2+1", " x < 2),(3x-2", " x >= 2):}
```

```math
int_0^4 f(x) dx = int_0^2 (x^2+1) dx + int_2^4 (3x-2) dx
```

```math
int_0^2 (x^2+1) dx = [x^3/3 + x]_0^2 = 8/3 + 2 = 14/3
```

```math
int_2^4 (3x-2) dx = [(3x^2)/2 - 2x]_2^4 = (24 - 8) - (6 - 4) = 14
```

### Ответ

```math
14/3 + 14 = 14/3 + 42/3 = 56/3
```

## №4. Несобственный интеграл

```math
int_1^(+oo) dx/x^3 = lim_(b->oo) int_1^b x^(-3) dx = lim_(b->oo) [-1/(2x^2)]_1^b
```

```math
= lim_(b->oo) (-1/(2b^2) + 1/2) = 1/2
```

### Ответ

```math
int_1^(+oo) dx/x^3 = 1/2
```

Интеграл **сходится**.

---

# Вариант 3

## №1. Метод Остроградского

```math
int (2x+7)/(x-1)^3 dx = (Ax+B)/(x-1)^2 + int C/(x-1) dx
```

Дифференцируем обе части:

```math
(2x+7)/(x-1)^3 = (A(x-1) - 2(Ax+B))/((x-1)^3) + C/(x-1)
```

```math
2x + 7 = Cx^2 + (-A - 2C)x + (-A - 2B + C)
```

```math
{(C = 0),(-A - 2C = 2),(-A - 2B + C = 7):}
```

```math
A = -2, quad B = -5/2, quad C = 0
```

### Ответ

```math
int (2x+7)/(x-1)^3 dx = (-2x - 5/2)/((x-1)^2) + C = -(4x+5)/(2(x-1)^2) + C
```

## №2. Дифференциальный бином

```math
int x^3 (2+x^4)^(-1) dx
```

```math
m = 3, quad n = 4, quad p = -1 in ZZ
```

Первый случай Чебышёва. Подстановка:

```math
u = 2+x^4, quad du = 4x^3 dx, quad x^3 dx = 1/4 du
```

```math
int x^3/(2+x^4) dx = 1/4 int (du)/u = 1/4 ln|u| + C
```

### Ответ

```math
= 1/4 ln(2+x^4) + C
```

## №3. Кусочно-заданная функция

```math
int_0^3 f(x) dx, quad f(x) = {(2x+1", " x <= 1),(x^2", " x > 1):}
```

```math
int_0^3 f(x) dx = int_0^1 (2x+1) dx + int_1^3 x^2 dx
```

```math
int_0^1 (2x+1) dx = [x^2 + x]_0^1 = 1 + 1 = 2
```

```math
int_1^3 x^2 dx = [x^3/3]_1^3 = 27/3 - 1/3 = 26/3
```

### Ответ

```math
2 + 26/3 = 6/3 + 26/3 = 32/3
```

## №4. Несобственный интеграл

```math
int_4^(+oo) dx/x = lim_(b->oo) [ln|x|]_4^b = lim_(b->oo) (ln b - ln 4) = +oo
```

### Ответ

Интеграл **расходится**.